Les propriétés du produit vectoriel

Soient \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) deux vecteurs différents du vecteur nul.

On appelle produit vectoriel \( \vec{u} \land \vec{v} \), un nouveau vecteur issu de \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) tel que :

Le produit vectoriel \( \vec{u} \land \vec{v} \) est orthogonal aux deux vecteurs \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\).

Coordonnées cartésiennes

Norme

Identité de Lagrange

Colinéarité de deux vecteurs

Anticommutativité

Distributivité par rapport à l'addition

Et aussi la distributivé à gauche :

Liberté de la constante

Formule de Gibbs

Identité de Jacobi

Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

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Démonstrations

Coordonnées cartésiennes

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\z_1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\z_2 \end{pmatrix}\) deux vecteurs différents du vecteur nul.

On cherche un vecteur \( \vec{w} \begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} \) orthogonal à ces deux vecteurs, et telle que la figure suivante :

Les deux vecteurs \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) étant respectivement orthogonaux au vecteur \( \vec{w}\), on a :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \vec{u}.\vec{w} = 0 \\ \vec{v}.\vec{w} = 0\end{gather*} $$

Soit,

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} x. x_1 + y. y_1 + z. z_1 = 0 \\ x. x_2 + y. y_2 + z. z_2 = 0\end{gather*} $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} x. x_1 + y. y_1 = - z. z_1 \\ x. x_2 + y. y_2 = - z. z_2 \end{gather*} $$

Et,

$$ (S) \enspace \left \{ \begin{gather*} \frac{x}{z}. x_1 + \frac{y}{z}. y_1 = - z_1 \\ \\ \frac{x}{z} . x_2 + \frac{y}{z}. y_2 = - z_2 \end{gather*} \right \} $$

Résolvons le système \((S)\).

On divise les deux équations respectivement par \(x_1\) et \(x_2\), pour isoler \(\frac{x}{z}\).

$$ (S) \Longleftrightarrow \left \{ \begin{gather*} \frac{x}{z} + \frac{y}{z}. \frac{y_1}{x_1} = - \frac{z_1}{x_1} \\ \\ \frac{x}{z} + \frac{y}{z}. \frac{y_2}{x_2} = - \frac{z_2}{x_2} \end{gather*} \right \} $$

$$ (S) \Longleftrightarrow \left \{ \begin{gather*} \frac{x}{z} = - \frac{y}{z}. \frac{y_1}{x_1} - \frac{z_1}{x_1} \\ \\ \frac{x}{z} = - \frac{y}{z}. \frac{y_2}{x_2} - \frac{z_2}{x_2} \end{gather*} \right \} $$

On a alors une valeur similaire pour \(\frac{x}{z}\), d'où l'égalité :

Enfin, en mettant les deux membres sous le même dénominateur, on obtient :

Faisons à présent la même chose pour \(\frac{x}{z}\).

En repartant de la forme initiale de \((S)\), et divisons maintenant les deux équations respectivement par \(y_1\) et \(y_2\).

$$ (S) \enspace \left \{ \begin{gather*} \frac{x}{z}. x_1 + \frac{y}{z}. y_1 = - z_1 \\ \\ \frac{x}{z} . x_2 + \frac{y}{z}. y_2 = - z_2 \end{gather*} \right \} $$

$$ (S) \Longleftrightarrow \left \{ \begin{gather*} \frac{x}{z}.\frac{x_1}{y_1} + \frac{y}{z} = - \frac{z_1}{y_1} \\ \\ \frac{x}{z}.\frac{x_2}{y_2} + \frac{y}{z} = - \frac{z_2}{y_2} \end{gather*} \right \} $$

$$ (S) \Longleftrightarrow \left \{ \begin{gather*} \frac{y}{z} = - \frac{x}{z}.\frac{x_1}{y_1} - \frac{z_1}{y_1} \\ \\ \frac{y}{z} = - \frac{x}{z}.\frac{x_2}{y_2} - \frac{z_2}{y_2} \end{gather*} \right \} $$

D'où l'égalité :

Maintenant, des deux égalités \((1)\) et \((2)\), on en tire deux nouvelles :

Les deux égalités \((1')\) et \((2')\) ayant un terme commun, alors les trois rapports suivants sont égaux :

Les coordonnées \((x, y, z)\) étant elles-mêmes définies à une constante près, en appliquant ce rapport pour \( k = 1 \), on obtient alors les coordonnées de \( \vec{w} \) :

Soit finalement,

Norme

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\z_1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\z_2 \end{pmatrix}\) deux vecteurs différents du vecteur nul.

Alors, en reprenant les coordonnées cartésiennes vues plus haut, on a :

Soit, en développant :

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = \sqrt{ \begin{gather*} \Bigl(y_1^2.z_2^2 - 2 y_1.z_2.y_2.z_1 + y_2^2.z_1^2 \Bigr) + \Bigl(x_2^2.z_1^2 - 2 x_2.z_1.x_1.z_2 + x_1^2.z_2^2 \Bigr) + \Bigl(x_1^2.y_2^2 - 2 x_1.y_2.x_2.y_1 + x_2^2.y_1^2 \Bigr) \end{gather*} } $$

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = \sqrt{ \Bigl(x_1.y_2 \Bigr)^2 + \Bigl(x_1.z_2 \Bigr)^2 + \Bigl(y_1.x_2 \Bigr)^2 + \Bigl(y_1.z_2 \Bigr)^2 + \Bigl(z_1.x_2 \Bigr)^2 + \Bigl(z_1.y_2 \Bigr)^2 - 2 y_1.z_2.y_2.z_1 - 2 x_2.z_1.x_1.z_2 - 2 x_1.y_2.x_2.y_1 } $$

On remarque que la partie du gauche de la racine correspond presque au produit \( \Bigl(x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 \Bigr) \Bigl(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 \Bigr)\). Effectivement :

$$ \Bigl(x_1.y_2 \Bigr)^2 + \Bigl(x_1.z_2 \Bigr)^2 + \Bigl(y_1.x_2 \Bigr)^2 + \Bigl(y_1.z_2 \Bigr)^2 + \Bigl(z_1.x_2 \Bigr)^2 + \Bigl(z_1.y_2 \Bigr)^2 = \Bigl(x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 \Bigr) \Bigl(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 \Bigr) - \Bigl(x_1.x_2 \Bigr)^2 - \Bigl(y_1.y_2 \Bigr)^2 - \Bigl(z_1.z_2 \Bigr)^2 $$

On a alors :

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = \sqrt{ \Bigl(x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 \Bigr) \Bigl(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 \Bigr) - \Bigl(x_1.x_2 \Bigr)^2 - \Bigl(y_1.y_2 \Bigr)^2 - \Bigl(z_1.z_2 \Bigr)^2 - 2 y_1.z_2.y_2.z_1 - 2 x_2.z_1.x_1.z_2 - 2 x_1.y_2.x_2.y_1 } $$

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = \sqrt{ \Bigl(x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 \Bigr) \Bigl(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 \Bigr) - \biggl[ \Bigl(x_1.x_2 \Bigr)^2 + \Bigl(y_1.y_2 \Bigr)^2 + \Bigl(z_1.z_2 \Bigr)^2 + 2 \left(x_1.x_2 \right) \left(y_1.y_2 \right) + 2 \left(y_1.y_2 \right) \left(z_1.z_2 \right) + 2 \left(x_1.x_2 \right)\left(z_1.z_2 \right) \biggr] } $$

De même, en remettant un peu d'ordre, on voit se dessiner une autre identité remarquable :

Soit dans notre cas :

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = \sqrt{ \Bigl(x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 \Bigr) \Bigl(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 \Bigr) - \biggl[ x_1.x_2 + y_1.y_2 + z_1.z_2 \biggr]^2 } $$

On reconnaît certaines formules du produit scalaire.

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = \sqrt{ {|| \vec{u} ||}^2 \times {|| \vec{v} ||}^2 - \bigl( \vec{u}.\vec{v} \bigr)^2 } \qquad (3) $$

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = \sqrt{ {|| \vec{u} ||}^2 \times {|| \vec{v} ||}^2 - \biggl[ || \vec{u}|| \times || \vec{v}|| \times cos(\vec{u}, \vec{v})\biggr]^2 } $$

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = \sqrt{ \biggl( || \vec{u}|| \times || \vec{v}|| \biggr)^2 \biggl( 1 - cos^2(\vec{u}, \vec{v})\biggr) } $$

Et finalement,

Identité de Lagrange

Dans la partie précédente, nous avions trouvé l'équation \((3)\) :

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = \sqrt{ {|| \vec{u} ||}^2 \times {|| \vec{v} ||}^2 - \bigl( \vec{u}.\vec{v} \bigr)^2 } \qquad (3) $$

En appliquant le carré de part de d'autres de cette équation, on obtient l'Identité de Lagrange :

Colinéarité de deux vecteurs

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\z_1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\z_2 \end{pmatrix}\) deux vecteurs différents du vecteur nul.

1. Implication de gauche à droite

Partons de l'hypothèse que \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sont colinéaires.

Alors, on a la relation :

$$ \exists k \in \mathbb{R}, \ \vec{u} = k. \vec{v} $$

Et le vecteur \(\vec{u}\) peut s'écrire en fonction de \(\vec{v}\) :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\z_1 \end{pmatrix} = k .\vec{v}\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\z_2 \end{pmatrix} = \vec{u}\begin{pmatrix} k . x_2 \\ k . y_2 \\ k . z_2 \end{pmatrix}$$



En déterminant les coordonnées de \( \vec{u} \land \vec{v} \), on a :

$$ \vec{u} \land \vec{v} = \begin{pmatrix} k . x_2 \\ k . y_2 \\ k . z_2 \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k.y_2.z_2 - y_2.k.z_2 \\ x_2.k.z_2 - k.x_2.z_2 \\ k.x_2.y_2 - x_2.k.y_2 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{u} \land \vec{v} = \vec{0} $$



2. Réciproque

Partons maintenant de l'hypothèse que \(\vec{u} \land \vec{v} = \vec{0}\).

Alors, sa norme est nulle.

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = || \vec{u}|| \times || \vec{v}|| \times sin(\vec{u}, \vec{v}) = 0$$

Et comme par hypothèse nos deux vecteurs ne sont pas nuls, alors nécessairement :

$$ || \vec{u} \land \vec{v} || = 0 \ \Longrightarrow \ sin(\vec{u}, \vec{v}) = 0$$

Et,

$$ \forall k \in \mathbb{N}, \ sin(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \ \Longrightarrow \ \Biggl\{ (\vec{u}, \vec{v}) = k\pi \Biggr\} $$

Alors les deux vecteurs sont colinéaires.




3. Conclusion

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$
$$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ colin \textit{é} aires \Longleftrightarrow \vec{u} \land \vec{v} = \vec{0} $$

De manière générale, il n'y a pas de sens à chercher un unique vecteur orthogonal à deux vecteurs colinéaires, car il en existe une infinité.

Anticommutativité

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\z_1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\z_2 \end{pmatrix}\) deux vecteurs différents du vecteur nul.

Calculons les coordonnées de \( \vec{u} \land \vec{v} \) et \( \vec{v} \land \vec{u} \).

Soit finalement,

Distributivité par rapport à l'addition

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\z_1 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\z_2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} x_3\\ y_3\\z_3 \end{pmatrix}\) trois vecteurs différents du vecteur nul.

1. Distributivité à droite

Calculons les coordonnées de \( \vec{u} \land ( \vec{v} + \vec{w}) \).

$$\vec{u} \land ( \vec{v} + \vec{w}) = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\z_1 \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} x_2 + x_3\\ y_2 + y_3 \\ z_2 + z_3 \end{pmatrix} $$
$$\vec{u} \land ( \vec{v} + \vec{w}) = \begin{pmatrix} y_1.\bigl[z_2 + z_3\bigr] - \bigl[y_2 + y_3 \bigr].z_1 \\ \bigl[x_2 + x_3\bigr].z_1 - x_1.\bigl[ z_2 + z_3 \bigr] \\ x_1.\bigl[y_2 + y_3 \bigr] -\bigl[x_2 + x_3 \bigr].y_1 \end{pmatrix} $$
$$\vec{u} \land ( \vec{v} + \vec{w}) = \begin{pmatrix} y_1.z_2 + y_1.z_3 - y_2.z_1 - y_3.z_1 \\ x_2.z_1 + x_3.z_1 - x_1.z_2 - x_1.z_3 \\ x_1.y_2 + x_1.y_3 - x_2.y_1 - x_3.y_1\end{pmatrix} $$

Or, les produits vectoriels \( \vec{u} \land \vec{v} \) et \( \vec{u} \land \vec{w} \) valent respectivement :

$$ \vec{u} \land \vec{v} = \begin{pmatrix} y_1.z_2 - y_2.z_1 \\ x_2.z_1 - x_1.z_2 \\ x_1.y_2 - x_2.y_1 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{u} \land \vec{w} = \begin{pmatrix} y_1.z_3 - y_3.z_1 \\ x_3.z_1 - x_1.z_3 \\ x_1.y_3 - x_3.y_1 \end{pmatrix} $$



Soit finalement,

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \neq \vec{0},$$
$$ \vec{u} \land ( \vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \land \vec{v} + \vec{u} \land \vec{w} $$


2. Distributivité à gauche

Grâce à l'anticommutativité du produit vectoriel, on a :

$$ (\vec{u} + \vec{v}) \land \vec{w}= - \ w \land ( \vec{u} + \vec{v}) $$

Soit, en distribuant par la droite :

$$ (\vec{u} + \vec{v}) \land \vec{w}= - \vec{w} \land \vec{u} - \vec{w} \land \vec{v} $$

Enfin, en appliquant à nouveau la propriété d'anticommutativité :

$$ (\vec{u} + \vec{v}) \land \vec{w}= \vec{u} \land \vec{w} + \vec{v} \land \vec{w} $$



Soit finalement,

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \neq \vec{0},$$
$$(\vec{u} + \vec{v}) \land \vec{w}= \vec{u} \land \vec{w} + \vec{v} \land \vec{w} $$

Liberté de la constante

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\z_1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\z_2 \end{pmatrix}\) deux vecteurs différents du vecteur nul.

Lorsque l'on calcule \( \lambda (\vec{u} \land \vec{v} ) \), on s'aperçoit que :

Or,

Et de la même manière à droite,

On voit que ces trois expressions sont équivalentes.

Soit finalement,

Formule de Gibbs

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\z_1 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\z_2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} x_3\\ y_3\\z_3 \end{pmatrix}\) trois vecteurs différents du vecteur nul.

Calculons un produit vectoriel de produit vectoriel : \( \vec{u} \land (\vec{v} \land \vec{w})\).

On remarque en factorisant, qu'à un terme apparaissent des produits scalaires :

Soit finalement,

Identité de Jacobi

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\z_1 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\z_2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} x_3\\ y_3\\z_3 \end{pmatrix}\) trois vecteurs différents du vecteur nul.

Si l'on calcule la somme de trois produits vectoriels de produit vectoriel, en décalant chaque vecteur sur le droite, on a :

Grâce à la formule de Gibbs précédemment calculée, on va pouvoir facilement simplifier cette expression.

Soit finalement,

Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

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Exemples

1. Déterminer l'équation d'un plan dans l'espace

Soit un cube \((ABCDEFGH)\) dans une base orthonormée \((A, \ \overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AD}, \ \overrightarrow{AE})\).



On souhaite déterminer l'équation du plan \((BGE)\).

Pour cela, il faut déterminer le vecteur normal \( \vec{n}\) à ce plan, en effectuant le produit vectoriel de deux vecteurs du plan.



En faisant le choix arbitraire des deux vecteurs \(\vec{u} = \ \overrightarrow{BE} \) et \(\vec{v} = \ \overrightarrow{BG}\), on a :

$$ \vec{u} \land \vec{v} = \ \overrightarrow{BE} \land \ \overrightarrow{BG} $$
$$ \vec{u} \land \vec{v} = \ \begin{pmatrix} x_E - x_ B \\ y_E - y_ B \\ z_E - z_ B\end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} x_G - x_ B \\ y_G - y_ B \\ z_G - z_ B\end{pmatrix} $$
$$ \vec{u} \land \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ \ \ \ 0 \\ \ \ \ 1 \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} $$
$$ \vec{u} \land \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \times 1 - 1 \times 1 \\ 0 \times 1 - (-1) \times 1 \\ (-1) \times 1 - 0 \times 0 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{u} \land \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ \ \ \ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Le plan \((BGE)\) a pour vecteur normal \( \vec{n} \begin{pmatrix} -1 \\ \ \ \ 1\\ -1 \end{pmatrix} \), et a donc pour équation :

$$ -x + y -z + d = 0 \qquad (BGE) $$



Déterminons finalement le paramètre \(d\) en injectant les coordonnées d'un point de ce plan dans son équation; le point \(B\) par exemple.

$$ x_B + y_B -z_B + d = 0 $$
$$ -1 + 0 -0 + d = 0 \ \Longrightarrow \ d = 1$$

Soit finalement l'équation du plan \((BGE)\) vaut :

$$ -x + y -z +1 = 0 \qquad (BGE) $$