Les propriétés du produit scalaire

Soient et deux vecteurs.

On note et les normes respectives des vecteurs et , et l'angle formé par les deux vecteurs.

On appelle le produit scalaire , le nombre réel résultant de :

C'est la norme du projeté orthogonal du vecteur sur le vecteur , multiplié par la norme du vecteur .

Commutativité

Vecteurs orthogonaux

Carré scalaire

Produit scalaire par les coordonnées des vecteurs

Bilinéarité

Par ailleurs, en effectuant le produit scalaire , on obtient :

Distributivité par rapport à l'addition

Et aussi la distributivé à gauche :

Identités remarquables

On a les mêmes formules que les identités remarquables.

Expression en fonction des normes

Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

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Démonstrations

Commutativité

Soient et deux vecteurs.

Pour les deux produits scalaires et , on a :

Si on appelle = , l'angle entre et , alors :

Or, la fonction cosinus est paire et : .

Alors on en déduit que : .

Soit finalement,

Vecteurs orthogonaux

Soient et deux vecteurs différents du vecteur nul.

1. Implication de gauche à droite

Partons de l'hypothèse que et sont orthogonaux.

Alors, par la définition du produit scalaire,

Mais si et sont orthogonaux, alors .




Alors leur produit scalaire sera nul, et :

2. Réciproque

Réciroquement, étant donné que par hypothèse nos deux vecteurs et sont différents du vecteur nul, alors :

Et,

Alors, les deux vecteurs et sont orthogonaux.

3. Conclusion

Carré scalaire

Soit un vecteur .

Alors, par la définition du produit scalaire,

Mais .

Alors, il reste uniquement les normes des deux vecteurs.

Soit finalement :

Produit scalaire par les coordonnées des vecteurs

Soient et deux vecteurs dans un repère orthonormé et telle que la figure suivante :

Alors on peut exprimer et sous la forme suivante :

Alors le produit scalaire vaut :

Les trois vecteurs sont par hypothèse nos vecteurs unitaires, alors :

Par ailleurs, étant dans un repère orthonormaux, les trois vecteurs sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul :

Et par commutativité du produit scalaire, on a aussi :

Soit en réécrivant ,

Et finalement,

Bilinéarité

Soient deux réels et deux vecteurs.

En effectuant le produit scalaire , on a :

Soit,

Concernant l'angle , il n'est pas différent de , car n'est que le prolongement du vecteur .

Soit finalement,

Par ailleurs, en effectuant le même raisonnement, on obtient aussi la linéarité à droite :

On a alors une bilinéarité :

Par ailleurs, en effectuant le produit scalaire , on obtient :

Distributivité par rapport à l'addition

Soient , et trois vecteurs.

On exprime les vecteurs , et sous la forme suivante :

1. Distributivité à droite

Alors le produit scalaire vaut :

Les trois vecteurs sont par hypothèse nos vecteurs unitaires, alors :

Par ailleurs, étant dans un repère orthonormaux, les trois vecteurs sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul :

Et par commutativité du produit scalaire, on a aussi :

Soit en réécrivant ,




En réarrangent l'expression :

On reconnaît l'écriture de et sous la forme de la somme du produit des coordonnées respectives :




Soit finalement,

2. Distributivité à gauche

Et grâce à la commutativité du produit scalaire, on a aussi la distributivité à gauche :

En développant l'expression avec la distributivité à droite, on a :




Soit finalement,

Identités remarquables

On a vu plus haut que le produit scalaire est distributif, c'est la propriété qui va être utilisée dans cette partie.

1. Calcul de
2. Calcul de

C'est la même chose avec un signe dans le double produit.

3. Calcul de

On a vu que le produit scalaire est commutatif, alors , et :

On obtient exactement les mêmes formules que les identités remarquables classiques.

Expression en fonction des normes

On a vu plus que :

En travaillant avec l'expression , on a :

Alors l'expression devient :

Et finalement,

De la même manière, avec l'expression , on a :

Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

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Exemples

1. Calculer la distance d'un point à un plan

Soit un plan dans l'espace, passant par un point et orthogonal à un vecteur (avec non nuls tous les trois).



Il s'agit de déterminer la distance du point au plan .

Comme les vecteurs et sont orthogonaux, on a :

Alors, connaissant les coordonnées du point , on peut appliquer la méthode de calcul du produit scalaire par le produit des coordonnées :