Les propriétés des puissances de x (pour des exposants naturels)

Soient un entier naturel et un réel.

On appelle un nombre multiplié fois par lui-même :

Toutes ces formules sont démontrées uniquement pour des exposants naturels .

Produit/quotient de puissances

Nombre élevé à la puissance zéro

Inverse d'une puissance

Puissance d'un produit/quotient

Puissance d'une puissance

Récapitulatif des puissances de x

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Démonstrations

Produit/quotient de puissances

1. Produit

Soient un réel et deux entiers naturels.

Si l'on effectue le produit , on a :

En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

On obtient finalement,





2. Quotient

La division par un nombre n'étant que la multiplication par l'inverse de ce même nombre, la formule précédente de produit s'appliquent aussi pour les quotients, à la condition supplémentaire que :

Alors, de même pour les quotients,

Nombre élevé à la puissance zéro

Soient un nombre réel non nul et un nombre réel.

Avec la formule de multiplication des puissances :

En divisant chaque membre par , en ajoutant la condition que :

Et finalement,

Inverse d'une puissance

Soit un réel non nul et un entier naturel.

Cherchons quelle serait la puissance de l'inverse, on sait que :

Mais , donc :

Par conséquent, avec la formule de multiplication des puissances, on a :

Alors par identification des formules et , on obtient comme résultat que :

Puissance d'un produit/quotient

1. Produit

Soient deux réels et un entier naturel.

Le produit de nombres étant commutatif, on a :




En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

On a à présent,




Soit finalement,




2. Quotient

Soient un réel, un réel non nul et un entier naturel.

La division par un nombre n'étant que la multiplication par l'inverse de ce même nombre, la formule précédente de produit s'appliquent aussi pour les quotients :

Alors, de même pour les quotients,

Puissance d'une puissance

Soient un réel et deux entiers naturels.

Si l'on effectue le calcul , on a :

Alors on trouve que,

En appliquant ce même raisonnement mais inversant et , on trouve aussi:

Alors,

Récapitulatif des puissances de x