Les propriétés des puissances de x (pour des exposants naturels)
Soient \( n\in \mathbb{N}\) un entier naturel et \( x \in \mathbb{R}\) un réel.
On appelle \(x^n\) un nombre \(x\) multiplié \(n\) fois par lui-même :
$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$
Toutes ces formules sont démontrées uniquement pour des exposants naturels \((n \in \mathbb{N})\).
Produit/quotient de puissances
Nombre élevé à la puissance zéro
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
$$ x^0 = 1 $$
Inverse d'une puissance
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*}, \ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}, $$
$$\frac{1}{x^a} = x^{-a}$$
Puissance d'un produit/quotient
Puissance d'une puissance
$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, \ \forall (a, b) \in \hspace{0.03em} \mathbb{N}^2, $$
$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$
Récapitulatif des puissances de x
Démonstrations
-
Produit
Soient \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un réel et \( (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.
Si l'on effectue le produit \(x^a x^b \), on a :
$$ x^a x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs }$$
$$ x^a x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \((a + b)\) facteurs } $$
En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :
$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$
On obtient finalement,
$$ \forall x \in\hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace \forall ( a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$
$$ x^a x^b = x^{a+b} $$
-
Quotient
La division par un nombre n'étant que la multiplication par l'inverse de ce même nombre, la formule précédente de produit s'appliquent aussi pour les quotients, à la condition supplémentaire que \((x \neq 0) \) :
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^a \times \frac{1}{x^b} $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^a \times x^{-b} $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a+(-b)} $$
Alors, de même pour les quotients,
$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, \ \forall (a, b) \in \hspace{0.03em} \mathbb{N}^2, $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
Soient \( x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^* \) un nombre réel non nul et \( a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un nombre réel.
Avec la formule de multiplication des puissances :
$$ x^a x^0 = x^{a+0} $$
$$ x^a x^0 = x^{a} $$
En divisant chaque membre par \(x^a\), en ajoutant la condition que \((x \neq 0)\) :
$$ x^0 = \frac{x^{a}}{x^{a}} $$
Et finalement,
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
$$ x^0 = 1 $$
Soit \( x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^* \) un réel non nul et \(a \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}\) un entier naturel.
Cherchons quelle serait la puissance de l'inverse, on sait que :
$$x^a \times \frac{1}{x^a} = 1 $$
Mais \(x^0 = 1\), donc :
$$x^a \times \frac{1}{x^a} = x^0 \qquad (3)$$
Par conséquent, avec la formule de multiplication des puissances, on a :
$$x^a \times x^{-a} = x^0 \qquad (4) $$
Alors par identification des formules \((3)\) et \((4)\), on obtient comme résultat que :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*}, \ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}, $$
$$ \frac{1}{x^a} = x^{-a}$$
-
Produit
Soient \( (x, y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2 \) deux réels et \( a\in \hspace{0.05em} \mathbb{N} \) un entier naturel.
$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {xy \times xy \times xy \times xy \times xy ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$
Le produit de nombres étant commutatif, on a :
$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {y \times y \times y \times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$
En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :
$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$
On a à présent,
$$ (xy)^a = x^a \times y^a $$
Soit finalement,
$$ \forall (x,y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall a \in \mathbb{N}, $$
$$ x^a y ^a = (xy)^a $$
-
Quotient
Soient \( x \in \mathbb{R} \) un réel, \( y \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^* \) un réel non nul et \( a\in \hspace{0.05em} \mathbb{N} \) un entier naturel.
La division par un nombre n'étant que la multiplication par l'inverse de ce même nombre, la formule précédente de produit s'appliquent aussi pour les quotients :
$$ \frac{x^a}{y^a} = x^a \times \left(\frac{1}{y}\right)^a $$
Alors, de même pour les quotients,
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \ \forall y \in \mathbb{R}^*, \ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{N} , $$
$$ \frac{x^a}{y^a} = \left(\frac{x}{y}\right)^a $$
Soient \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un réel et \( (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.
Si l'on effectue le calcul \( (x^a)^b \), on a :
$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x^a \times x^a \times x^a \times x^a \times x^a ... } _\text{ \(b\) facteurs } $$
$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$
$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x... } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$
En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :
$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$
Alors on trouve que,
$$ (x^a)^b = x^{ab} $$
En appliquant ce même raisonnement mais inversant \(a\) et \(b\), on trouve aussi:
$$ (x^b)^a = x^{ab} $$
Alors,
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$
$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$
Retour en haut de page
