Les propriétés des nombres premiers
L'ensemble \(\mathbb{P}\) est l'ensemble des nombres premiers :
$$ \mathbb{P} = \Bigl \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...etc. \Bigr\}$$
On appelle nombre premier, un nombre \(p \in \mathbb{P}\) qui a uniquement comme diviseur lui-même et \(1\).
$$ \mathcal{D}(p) = \bigl\{p, 1 \bigr\} $$
De même, on dira que deux nombres \((a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^2\) sont premiers entre eux si leur unique diviseur commun est \(1\).
$$ \mathcal{D}(a, b) = \bigl\{1 \bigr\} \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge b = 1 $$
Deux nombres premiers sont premiers entre eux
deux nombres premiers sont premiers entre eux.
$$ \forall (p_1, p_2) \in \hspace{0.05em} \mathbb{P}, $$
$$ (p_1, p_2) \in \hspace{0.05em} \mathbb{P} \Longrightarrow p_1 \wedge p_2 = 1$$
Décomposition d'un nombre en facteurs premiers
Tout entier naturel \(n \geqslant 2\) se décompose de manière unique en produit facteurs premiers.
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace n \geqslant 2, \enspace \forall i \in \mathbb{N}, \enspace (\forall p_i \in \mathbb{P}, \enspace \exists \alpha_i \in \mathbb{N}), $$
$$ n= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_i^{\alpha_i}$$
Tout nombre supérieur à 2 possède au moins un diviseur premier
Tout entier naturel \(n \geqslant 2\) possède au moins un diviseur premier.
Tout nombre non premier supérieur à 4 possède au moins un diviseur strict
Tout entier naturel \(n \geqslant 4 \) non premier possède au moins un diviseur strict \(d_0 \) tel que \( d_0 \leqslant \sqrt{n} \).
Lien de primalité entre un nombre premier et tout entier relatif
$$ \forall p \in \mathbb{P}, \enspace \forall a \in \mathbb{Z}, $$
$$ p \nmid a \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge p = 1 $$
Lemme d'Euclide
$$ \forall p \in \mathbb{P}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^2, $$
$$ p/ab \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} (p/a) \enspace ou \enspace (p/b) \qquad \bigl(Lemme \ d'Euclide) $$
Corollaire du lemme d'Euclide
$$ \forall (p, a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{P}^3, $$
$$ p/ab \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} (p=a) \enspace ou \enspace (p=b) \qquad \bigl(Lemme \ d'Euclide \enspace (corollaire)) $$
Démonstrations
Soient \((p_1, p_2) \in \hspace{0.05em} \mathbb{P} \) deux nombres premiers.
Alors :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*}
\mathcal{D}(p_1) = \bigl\{1, p_1 \bigr\} \\
\mathcal{D}(p_2) = \bigl\{1, p_2 \bigr\} \end{gather*} $$
Leur seul diviseur commun est \( 1 \).
Alors,
$$ \forall (p_1, p_2) \in \hspace{0.05em} \mathbb{P}, $$
$$ (p_1, p_2) \in \hspace{0.05em} \mathbb{P} \Longrightarrow p_1 \wedge p_2 = 1$$
La réciproque n'est pas vraie.
Par exemple : \(16 \wedge 35 = 1\)
Et pourtant ces deux nombres ne sont pas premiers.
Soit \(n \in \mathbb{N}\) un entier naturel avec \(n \geqslant 2\).
Ce nombre admet un nombre fini de diviseurs.
-
si \( n \) est premier
Il n'y a qu'un seul facteur.
$$ n= p_1^{\alpha_1} \enspace \enspace (avec \enspace \alpha_1 = 1) $$
-
si \( n \) n'est pas premier
On sait que \( n \) a au moins un diviseur premier.
$$ n = n_1 p_1 $$
-
- Si \( n_1 \) n'est pas premier
On recommence :
$$ n_1 = n_2 p_2 $$
$$ n = p_1. n_2 p_2 $$
-
- Si \( n_2 \) n'est pas premier
On effectue cette procédure jusqu'au dernier diviseur qui sera nécessairement premier.
On pourra éventuellement retomber sur les mêmes nombres premiers plusieurs fois de suite.
$$ n= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_i^{\alpha_i}$$
Soit finalement,
Tout entier naturel \(n \geqslant 2\) se décompose de manière unique en produit facteurs premiers.
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace n \geqslant 2, \enspace \forall i \in \mathbb{N}, \enspace (\forall p_i \in \mathbb{P}, \enspace \exists \alpha_i \in \mathbb{N}), $$
$$ n= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_i^{\alpha_i}$$
Soit \(n \in \mathbb{N}\) un entier naturel avec \(n \geqslant 2\).
Deux cas se présentent :
-
\( n \) est premier
Alors, \( n / n \).
Il a bien au moins un diviseur premier.
-
\( n \) n'est pas premier
\( n \) possède au moins un diviseur strict.
$$ \mathcal{D}(a) = \bigl\{1, d_1, d_2, \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em}, n \} $$
Soit \( d_1 \) le plus petit diviseur strict de \(n \), \(d_1 \) est forcément premier, car s'il ne l'était pas, il aurait un diviseur inférieur à lui-même qui diviserait \( n \), et \( d_1 \) ne serait pas le plus petit diviseur de \(a \).
Soit finalement,
Tout entier naturel \(n \geqslant 2\) possède au moins un diviseur premier.
Soient \(n \in \{ \mathbb{N} \hspace{0.2em} \backslash\ \mathbb{P} \} \) un entier naturel non premier avec \(n \geqslant 4\), et \(d_0 \in \mathbb{N}\) un diviseur strict de \(n\).
Alors,
$$ \exists d' \geqslant d_0, \enspace n =d_0 d' $$
En multipliant par \(d_0 \) les deux membres,
$$ d_0^2 \leqslant d_0d' \Longleftrightarrow d_0^2 \leqslant n $$
$$ d_0 \leqslant \sqrt{n} $$
Et finalement,
Tout entier naturel \(n \geqslant 4 \) non premier possède au moins un diviseur strict \(d_0 \) tel que \( d_0 \leqslant \sqrt{n} \).
Soient \( p \in \mathbb{P} \) un nombre premier et \(a \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.
$$ \mathcal{D}(p) = \bigl\{p, 1 \bigr\} $$
$$ \mathcal{D}(a) = \bigl\{1, \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em}, a \} $$
Si \( p \nmid a \) alors \( p \not\in \mathcal{D}(a) \). D'où le fait que :
$$ p \nmid a \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \mathcal{D}(a) \wedge \mathcal{D}(p) = \bigl\{1 \bigr\} $$
$$ p \nmid a \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge p = 1 $$
Réciproque
Si \(a \wedge p = 1\), comme \(p\) divise uniquement \(1\) et lui-même, alors \(p \nmid a\).
$$ a \wedge p = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} p \nmid a $$
Conclusion
$$ \forall p \in \mathbb{P}, \enspace \forall a \in \mathbb{Z}, $$
$$ p \nmid a \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge p = 1 $$
Soient \( p \in \mathbb{P} \) un nombre premier, \( (a, b) \in \hspace{0.1em} \mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.
Si \( p/ab \), alors deux cas se présentent :
-
\( p \) divise \( a \)
Alors, le théorème est vrai
-
\( p \) ne divise pas \( a \)
Alors, le lien de primalité entre un nombre premier et tout entier relatif nous dit que comme \( p \nmid a\), alors \( a \wedge p = 1\).
Or, avec le théorème de Gauss :
$$ \forall (a, b, c) \in (\mathbb{Z})^3,\enspace a / bc \enspace et \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$
Ce qui nous permet de dire que \( p \) divise \( b \).
Soit finalement,
$$ \forall p \in \mathbb{P}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^2, $$
$$ p/ab \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} (p/a) \enspace ou \enspace (p/b) \qquad \bigl(Lemme \ d'Euclide \bigr) $$
Soient \( (p, a, b) \in \hspace{0.1em} \mathbb{P}^3 \), trois nombres premiers.
Si \( p/ab \), on a vu plus haut qu'avec le lemme d'Euclide, on a :
$$ p/ab \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} p/a \enspace ou \enspace p/b $$
Voyons ce qu'il se passe dans les deux cas.
-
\( p \) divise \( a \)
\( a \) est premier donc ses deux seuls diviseurs sont \( 1 \) et \( a \).
Or, \( p \neq 1 \) par hypothèse car c'est un nombre premier, alors :
$$ p/a \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} p = a $$
-
\( p \) divise \( b \)
Ce sont les mêmes hypothèses pour \( b \), par conséquent :
$$ p/b \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} p = b $$
Soit finalement,
$$ \forall (p, a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{P}^3, $$
$$ p/ab \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} (p=a) \enspace ou \enspace (p=b) \qquad \bigl(Lemme \ d'Euclide \enspace (corollaire) \bigr) $$
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