Démonstrations mathématiques

Géométrie du triangle

Géométrie du cercle

Trigonométrie

Formules de duplications/additions trigonométriques \( : sin(2\alpha), \ sin(\alpha + \beta)... \)
Formules trigonométriques d'Euler \( : e^{ix} = cos(x) + i.sin(x) \)

Nombres complexes

Propriétés de nombres complexes \(: |z|, \ arg(z), \ \bar{z} \)
Formule de Moivre \( : \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) \)

Géométrie dans l'espace

Calculs de surfaces et de volumes par intégration \(: S_{sphere} = 4\pi R^2 \)
Propriétés du produit scalaire \( : \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\vec{u}, \vec{v})\)
Propriétés du produit vectoriel \( : || \vec{u} \land \vec{v} || = || \vec{u}|| \times || \vec{v}|| \times sin(\vec{u}, \vec{v}) \)
Géométrie analytique dans l'espace \( : M \in \mathcal{P}(A, \vec{n}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} ax + by + cz + d = 0 \)

Polynômes

Limites et continuités

Règle de L'Hôpital \( : \enspace lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(x)}{g'(x)} \)

Dérivées

Intégrales/primitives

Équations différentielles

Analyse asymptotique

Formule de Taylor-Young avec reste intégral \( : f_{n,a}(x) = \hspace{0.2em} f(a) + f'(a)(x - a) \hspace{0.2em} + ...\hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} {\displaystyle \int^x } \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt \)

Divers

Fonctions logarithme et exponentielle \( : ln(ab) = ln(a) + ln(b) \)

Démonstrations mathématiques

Calcul élémentaire \( (a + b)^n = \sum \binom{n}{p} a^{n-p}b^p \)

Propriétés des fractions \( : \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc \)

Propriétés des puissances de x (pour des exposants naturels) \( : x^a x^b = x^{a+b}\)

Binôme de Newton \( : (a + b)^n = \sum \binom{n}{p} a^{n-p}b^p \)

Identité géométrique \( : a^n - b^n = (a-b) \sum a^{n-p-1}b^p \)

Propriétés du binôme \( : \binom{n}{p} = \binom{n -1}{p -1 } + \binom{n - 1}{p} \)

Formules de combinatoire et dénombrement \( : \binom{n}{p} = \frac{n!}{p! (n-p)!} \)

Propriétés des matrices \( : (A \times B)_{i,j} = \sum a_{i,k} \times b_{k,j} \)

Géométrie \( a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \)

Théorème de Pythagore et sa réciproque \( : a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \)

Théorème d'Al-Kashi \( : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos(\alpha) \)

Théorème de Thalès et sa réciproque \( : BC \parallel DE \Longleftrightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \)

Loi des sinus \( : \frac{sin(\alpha)}{a} = \frac{sin(\beta)}{b} = \frac{sin(\gamma)}{c} \)

Similarité de deux triangles

Triangle rectangle inscrit dans le cercle

Calcul de Pi \( (\pi)\) par méthode géométrique

Puissance d'un point par rapport à un cercle \( : OA \times OB = OC \times OD \)

Formules de duplications/additions trigonométriques \( : sin(2\alpha), \ sin(\alpha + \beta)... \)

Formules trigonométriques d'Euler \( : e^{ix} = cos(x) + i.sin(x) \)

Propriétés de nombres complexes \(: |z|, \ arg(z), \ \bar{z} \)

Formule de Moivre \( : \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) \)

Calculs de surfaces et de volumes par intégration \(: S_{sphere} = 4\pi R^2 \)

Propriétés du produit scalaire \( : \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\vec{u}, \vec{v})\)

Propriétés du produit vectoriel \( : || \vec{u} \land \vec{v} || = || \vec{u}|| \times || \vec{v}|| \times sin(\vec{u}, \vec{v}) \)

Géométrie analytique dans l'espace \( : M \in \mathcal{P}(A, \vec{n}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} ax + by + cz + d = 0 \)

Analyse \( F(x) = F(a) + {\displaystyle \int_a^x } f(t) \ dt \)

Résolution d'équations du second degré \( : P_2(X) = aX^2 + bX + c = 0\)

Interpolation polynomiale Langrangienne \( : L(X) = y_0 L_0(X) + y_1 L_1(X) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} y_n L_n(X) \)

Règle de L'Hôpital \( : \enspace lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(x)}{g'(x)} \)

Dérivabilité \(: f'(x) = lim_{\Delta_x \to 0} \ \frac{\Delta_{f(x)}}{\Delta_x} = \frac{df}{dx} \)

Dérivées des fonctions usuelles \(: (x^2)' , \ \big[ln(x)\big]' , \ \left(\frac{1}{x}\right)'... \)

Dérivées des fonctions trigonométriques \( : sin(x)', \ cos(x)' , \ tan(x)'... \)

Dérivées d'opérations sur les fonctions \( : (f \circ g)' = g'(f' \circ g) \)

Convexité \( : f \enspace convexe \enspace sur \enspace I \Longleftrightarrow f(x) \geqslant f'(a)(x - a) + f(a) \)

Théorème des accroissements finis \( : \exists c \in \hspace{0.05em} ]a, b[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} \)

Méthode de Newton : une méthode pour approximer la valeur d'un nombre

Propriétés de l'intégrale \(: {\displaystyle \int^x } \bigl(\lambda f + \mu g \bigr) \ dt = \lambda {\displaystyle \int^x } f \ dt + \mu {\displaystyle \int^x } g \ dt \)

Lien entre intégrales et primitives \( : F(x) = F(a) + {\displaystyle \int_a^x } f(t) \ dt \)

Primitives usuelles et méthodes générales d'intégration \( : {\displaystyle \int_a^b } (f'g) \hspace{0.2em}dt = \Bigl[fg\Bigr]_{a}^b - {\displaystyle \int_a^b } (fg') \hspace{0.2em}dt \)

Méthodes d'intégration des fractions rationnelles \( : {\displaystyle \int^x } \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \ ln \left| \frac{x-x_1}{x-x_2} \right| \)

Méthodes d'intégration des fractions rationnelles avec racines carrées \( : {\displaystyle \int^x } \frac{dt}{\sqrt{a^2 + t^2}} = ln \left|\sqrt{ a^2 + x^2 } + x\right| \)

Primitives des fonctions trigonométriques \( : {\displaystyle \int^x } tan(t) \ dt = - ln|cos(x)| \)

Résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficient continu \( : y' + a(x)y = f(x) \)

Résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants \( : y'' + ay' + by= f(x) \)

Principe de superposition

Formule de Taylor-Young avec reste intégral \( : f_{n,a}(x) = \hspace{0.2em} f(a) + f'(a)(x - a) \hspace{0.2em} + ...\hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} {\displaystyle \int^x } \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt \)

Fonctions logarithme et exponentielle \( : ln(ab) = ln(a) + ln(b) \)

Suites et séries \( \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] = a_{n+1} - a_{0} \)

Téléscopage de termes d'une série numérique récurrente \( : \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] = a_{n+1} - a_{0} \)

Sommes usuelles \( : \sum k, \ \sum k^2, \ \sum k^3, \ \sum (2k+1)... \)

Arithmétique \( b \nmid a \Longrightarrow a = bq + R \)

Propriétés de la divisibilité \( : ka/kb \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/b \)

Algorithme d'Euclide \( : b \nmid a \Longleftrightarrow a = bq + R \)

Propriétés du PGCD de deux entiers naturels \( : a = bq + R \Longrightarrow PGCD(a, b) = PGCD(b, R) \)

Propriétés des nombres premiers \( : p \nmid a \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge p = 1 \)

Propriétés des congruences \( : a \equiv b \hspace{0.2em} [n] \Longleftrightarrow n/(a -b) \)

Théorème de Bézout et son corollaire \( : a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow au + bv = 1 \)

Théorème de Gauss et son corollaire \( : a / bc \enspace et \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c \)

Petit théorème de Fermat et son corollaire \( : a^p \equiv a \hspace{0.2em} [p] \)

Glossaire des symboles